Cambio de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas
La gráfica siguiente muestra las coordenadas esféricas de un punto P.
Las ecuaciones que permiten transformar las coordenadas rectangulares x,
y, z de un punto P en coordenadas esféricas vienen dadas a continuación.
Integral triple en coordenadas esféricas
Supongamos que se desea calcular el volumen de un sólido en el espacio
tridimensional. Si se realiza una partición de dicho sólido en pequeñas
cajas rectangulares, el volumen total será (aproximadamente igual a) la suma
de los volúmenes de dichas cajas rectangulares. El paso al límite nos lleva
al cálculo de la siguiente integral triple, para determinar el volumen
total:
Si el sólido presenta simetría esférica, se pueden simplificar los
cálculos sustituyendo las cajas rectangulares por pequeñas porciones
esféricas que se obtienen variando infinitesimalmente las coordenadas
esféricas de los puntos.
Cada una de dichas variaciones viene ilustrada en la gráfica siguiente:
Las regiones infinitesimales en coordenadas esféricas tienen la forma de
la figura:
Para calcular el volumen, podemos suponer que las cajas son aproximadamente
rectangulares, de modo que basta multiplicar los lados.
Así, si el volumen expresado en coordenadas rectangulares es dV = dx dy dz,
en coordenadas esféricas es el siguiente:
Por ejemplo, si una función f(x,y,z) representa la densidad de un punto
arbitrario en algún cuerpo con simetría esférica, debemos tranformar la
función escribiendo las coordenadas x, y, z en función de las coordenadas
esféricas. Esto produce la función
F(r,q,f). En definitiva,
la masa total del cuerpo viene dada por
a lo largo de la región a considerar.
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