escudo.gif (1840 bytes)ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA

NOCIONES PRELIMINARES DE MATEMÁTICAS

6.  INTEGRALES DE FUNCIONES

  *  Integrales de radicales (Parte II)

  intbl.gif (455 bytes)

  En este caso la integral siempre puede ser expresada de una de las tres formas:    

  intbm.gif (2245 bytes)

sin más que hacer el cambio correspondiente y consultar la tabla de integrales.


  Ejemplo 22:  Hallemos la integral

intbn.gif (291 bytes)

Solución:  En primer lugar extraemos el coeficiente de x², o sea el 2,  del radical con lo que la integral puede realizarse:

intbo.gif (1837 bytes)

 
  intbp.gif (1024 bytes)

  Donde pn(x) es un polinomio de grado n. Este tipo de integrales se realiza por el llamado "método germany" (o método alemán) que consiste en expresar la integral en la forma:

intbq.gif (920 bytes)

siendo qn-1(x) un polinomio de grado (n-1) con coeficientes indeterminados, así como l es otro coeficiente a determinar. Una vez determinados estos coeficientes, la integral a realizar es una integral del caso 3.


  Ejemplo 23:  Hallemos la integral

intbr.gif (278 bytes)


  Solución:  En este caso, el polinomio del numerador es (x²), que es de grado 2, por lo tanto el polinomio qn-1(x) será un polinomio de grado 1:  qn-1(x) = A x + B.  Entonces:

intbs.gif (748 bytes)

Para determinar los coeficientes A, B y l lo hacemos como en el método de Hermite, es decir, derivando ambos miembros:

intwuv.gif (838 bytes)

a continuación en el miembro de la derecha ponemos denominador común, intbt.gif (171 bytes), y cancelamos estos denominadores:

2 x² = 2 A (x² - x + 1) + 2 Ax² + (2 B - A) x - B + 2l

  De aquí podemos sacar el sistema:

intbu.gif (763 bytes)

Por lo tanto:

intbv.gif (738 bytes)

y ahora la integral del segundo término es del caso 3:

intbw.gif (571 bytes), o sea,     intbx.gif (368 bytes)

y el resultado final es:

intby.gif (883 bytes)


  El alumno puede realizar los siguientes ejercicios:

intbz.gif (1103 bytes)


  rdcl1.gif (556 bytes)

  Para este caso el cambio x ± a = 1/t   la transforma en una integral del caso 4.


  Ejemplo 24:  Hallemos la integral:

rdcl2.gif (359 bytes)


  Solución:  Hacemos la sustitución habitual, llamando al binomio del denominador 1/t:

rdcl3.gif (691 bytes)

ahora simplemente sustituimos y simplificamos:

rdcl4.gif (2092 bytes)

la integral resultante es una integral del caso 4:

rdcl5.gif (622 bytes)

que la hacemos por el método aleman, como en el ejemplo 23:

rdcl6.gif (1045 bytes)

los coeficientes resultan ser:

rdcl7.gif (311 bytes)

por lo tanto:

rdcl8.gif (664 bytes)

ahora sustituiríamos t por su valor:   1/(x-2).

  El alumno puede realizar los siguientes ejercicios:

rdcl9.gif (987 bytes)


rdcla.gif (472 bytes)

  Estas integrales se transforman directamente a integrales racionales con el cambio:

 rdclb.gif (213 bytes)


  Ejemplo 25:   Hallemos la integral

rdclc.gif (284 bytes)


Solución:  sin más, hacemos el cambio:

rdcld.gif (188 bytes)

ahora despejamos x:
                      rdcle.gif (258 bytes)
                                 rdclf.gif (305 bytes)

y sustituimos:

rdclg.gif (984 bytes)

finalmente deberíamos sustituir t por su valor.            rdclh.gif (245 bytes)

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