escudo.gif (1840 bytes)ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA

NOCIONES PRELIMINARES DE MATEMÁTICAS

6.  INTEGRALES DE FUNCIONES

  *  Integrales de radicales (Parte I)

     Se trata de hallar integrales de funciones en las que parezca una raiz cuadrada bien en el numerador o en el denominador. Estudiaremos seis de los principales casos:

   rdcli.gif (683 bytes)     
CASO 1

CASO 2

CASO 3

 rdclj.gif (978 bytes)

CASO 4

  CASO 5

   CASO 6

 

*   *   *

 

   Para ello es necesario previamente conocer el resultado de dos integrales, las de: sen² x , cos² x (siga el vínculo para verlas):

 

y ahora hacemos el cambio x/a = sen t  , con lo que dx = a cos t dt. y la integral se convierte en:

cuyo resultado lo tenemos arriba, por lo tanto:

[1]

 Para deshacer el cambio tener en cuenta que t = arcsen (x/a), y cos t = (1 - (x/a)²)^(½).

  
 

y ahora hacemos el cambio x/a = senh t  , con lo que dx = a cosh t dt.

tengase en cuenta que  1 + senh² x = cosh² x. Ahora debemos considerar el resultado de la integral:

(vease el vínculo) por lo tanto:

[2]

*   *   *

  intb1.gif (387 bytes)

  Estas integrales, en ocasiones pueden expresarse en una de las dos formas siguientes:

intb2.gif (622 bytes)

si éste es nuestro caso, entonces sólo tenemos que hacer la sustitución:  intb3.gif (147 bytes) ,  con lo que la integral pasa a ser del caso anterior, es decir, se halla según [1] ó [2].


  Ejemplo 19:  Hallemos la integral:

intb4.gif (267 bytes)

  Solución:  el polinomio de segundo grado del radicando puede expresarse en la forma (i):

intb5.gif (500 bytes)

ahora hacemos el cambio:  (x - 1) = t,      dx = dt,  y luego consideramos [1]:

intb6.gif (1000 bytes)


Ejemplo 20:  Hallemos la integral:

intb7.gif (295 bytes)

Solución:  el polinomio de segundo grado del radicando puede expresarse en la forma (ii):

intba.gif (529 bytes)

hacemos el cambio (x - 5) = t,     dx = dt,  y consideramos [2]:

intb9.gif (1049 bytes)


Pero [ATENCIÓN]: No en todas las integrales radicales del caso 2 pueden expresarse de estas maneras. Veamos por ejemplo la integral:

intbc.gif (273 bytes)

podríamos intentarlo, pero a todo lo más que podemos llegar es:

intbd.gif (498 bytes)

que no es ni el caso (i) ni el (ii), pues en ambos tenemos +a², con signo positivo. Para estos casos están establecidos los cambios siguientes:

   intbe.gif (1544 bytes)

estos cambios la transforman en una integral racional en la forma     intbf.gif (217 bytes).

  Ejemplo 21:  Hallemos la integral:

intbc.gif (273 bytes)

  Solución: En este caso tenemos a > 0, en concreto a=1, por lo que según (b):

intbg.gif (246 bytes)

ahora elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad, con lo que desaparece la raíz y además se cancelan los terminos x² (éste es el objetivo de tan extraña sustitución risa.gif (69 bytes)):

intbh.gif (1034 bytes)

entonces la inegral queda:

intbi.gif (1840 bytes)

finalmente se ponen las integrales inmediatas resultantes, y después no olvidemos sustituir el verdadero valor de t que en nuestro caso es: intbj.gif (244 bytes)

*   *   *

  Algunos ejercicios para el alumno:

intbk.gif (1448 bytes)

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