"Matematikak I" irakasgaiaren ikaskuntza-emaitzak hauek izango dira:

* Notazioa eta hizkuntza matematikoa ulertzea eta maneiatzea.

* Adierazpen aljebraikoak segurtasunez erabiltzea.

* Matematika-hizkuntzan adierazitako eduki ekonomikoko arazoak eta ariketak ulertzea.

* Aljebra-ariketak planteatzea, ebaztea eta interpretatzea.

* Aldagai baten funtzioen kalkulu diferentzialeko problemak planteatzea, ebaztea eta interpretatzea.



Era berean, irakasgai honen ikaskuntzaren emaitzak, tituluaren memorian ere zehaztuta, honako puntu hauetan laburbil daitezke:



* Aljebraren eta kalkulu diferentzialaren oinarrizko kontzeptuak eta teknikak aplikatzea ekonomia- eta enpresa-zientziarekin lotutako suposizio praktikoei.

* Prozeduren justifikazioan eta argudio logikoen formulazioan arrazoibide deduktiboa erabiltzea

* Kasu praktikoetan kuantifikatu daitezkeen fenomeno ekonomikoen formalizazio matematikoa





Era berean, honako zeharkako gaitasunak landuko dira irakasgai honetan:

* Ikaskuntza autonomoa

* Azterketa eta sintesirako gaitasuna

* Erabakiak hartzea eta arazoak ebaztea

I. ZATIA: Aljebra lineala



0.- ATARIKOAK



1.- MATRIZEAK ETA BEKTOREAK. BEKTORE-ESPAZIOA



1.1 Matrizeak. Eragiketak matrizeekin



1.2 Matrize motak



1.3 Bektoreak. Eragiketak bektoreekin. Bektore-espazioa



1.4 Bektore-espazio euklidearra: Bektoreen arteko biderkadura eskalarra. Bektoreen luzera. Ortogonaltasuna



2.- DETERMINANTEAK ETA ALDERANTZIZKO MATRIZEA



2.1 Matrize karratu baten determinantea



2.2 Minore osagarria eta adjuntua



2.3 Determinantearen kalkulua, lerro bateko elementuen garapenaz



2.4 Determinanteen propietateak



2.5 Matrize baten alderantzizkoa. Propietateak



2.6 Alderantzizko matrizearen kalkulua



3.- HEINAREN TEORIA ETA EKUAZIO LINEALETAKO SISTEMAK



3.1 Bektoreen arteko askatasun lineala



3.2 Matrize baten heina



3.3 Matrize baten heinaren kalkulua



3.4 Ekuazio linealetako sistemak. Adierazpen matriziala eta bektoriala



3.5 Cramer-en sistemak



3.6 Sistema homogeneoak



3.7 Sistema linealen sailkapena eta ebazpena. Menpeko ekuazioak. Askatasun graduak



3.8 Ekuazio linealetako sistemak, ekonomian



4.- MATRIZEEN DIAGONALIZAZIOA



4.1 Matrize karratu baten autobalioak eta autobektoreak



4.2 Autobalio eta autobektoreen kalkulua



4.3 Matrizeen diagonalizazioa



4.4 Matrize diagonalizagarriak, ekonomian





II. ZATIA: Kalkulua (aldagai bateko funtzioak)



5.- ALDAGAI BATEKO FUNTZIOAK



5.1 Funtzio kontzeptua. Izate-eremua. Adierazpen grafikoa



5.2 Ohiko funtzioak



5.3 Funtzio baten alderantzizkoa



5.4 Zatika definitutako funtzioak. Balio-absolutuaren funtzioa



5.5 Funtzio konposatuak



Eranskina: Konikoak (zirkunferentzia, elipsea, hiperbola, parabola)



6.- DERIBAZIOA



6.1 Funtzioen limiteak. Funtzio jarraiak



6.2 Deribatua. Esanahi geometrikoa



6.3 Jarraitasuna eta Deribagarritasuna



6.4 Funtzio konposatuen deribazioa (katearen erregela)



6.5 Deribazio-arauak



6.6 Alderantzizko funtzioaren deribatua



6.7 Ondoz-ondoko deribatuak



6.8 Funtzio inplizituak. Deribazioa



6.9 Deribatuak Ekonomian



7.- JARRAITASUNA ETA DERIBAGARRITASUNA: APLIKAZIOAK



7.1 Tarteko balioaren teorema



7.2 Muturreko balioen teorema



7.3 Rolle-ren teorema. Batez besteko balioaren teorema



7.4 Limite indeterminatuak eta l'Hôpital-en erregela



7.5 Funtzio baten diferentziala eta hurbilketa lineala



7.6 Funtzioen hurbilketa polinomikoa. Taylor-en formula



8.- INTEGRAZIOA



8.1 Integral mugatuaren kontzeptua. Esanahi geometrikoa



8.2 Funtzio integragarriak



8.3 Propietateak



8.4 Betez bestekoaren teorema



8.5 Funtzio integrala. Funtzio baten jatorrizkoa



8.6 Barrow-ren erregela



8.7 Integral mugagabea. Propietateak



8.8 Oinarrizko integrazio-metodoak: berehalakoa, ordezkapenaz, zatika



8.9 Integral inpropioak



8.10 Integralaren erabilera ekonomian

Irakasgai honen antolaketa ordutegi ofizialean ezartzen den banaketaren arabera banatuko da, klase magistraleko saioen eta ikasgelako praktika-saioen artean.



Klase magistraleko saioetan ikasgaia osatzen duten gaiak garatuko dira. Teorikoak edo praktikoak izan daitezke. Eskola teorikoen helburua irakasgaia osatzen duten kontzeptuak eta emaitzak garatzea da. Irakasgaiaren edukiak ulertzen eta zabaltzen laguntzen du gomendatutako oinarrizko eskuliburuak erabiltzeak. Orientazio praktikoko eskolen bidez, ikasleak modu teorikoan sartutako kontzeptuak behar bezala barneratzea eta maneiatzea lortu nahi da.



Ikasgelako saio praktikoen helburua da ikasitako prozedurak hobeto ezagutzea eta menderatzea, eta errealitate ekonomikotik hurbil dauden egoeretan praktikoetan nola erabiltzen diren ikertzea. Helburu horrekin, saio horiek zuzendutako lanen klase gisa planteatzen dira. Ariketa horiek banaka eta saio batzuetan modu kooperatiboan egingo dira, eta e-gela plataforman egongo dira eskuragarri.

Lehenengo deialdian, ebaluazioa mistoa izango da. Idatzizko proba bat egingo da, amaierako azterketa izango dena (zentruak adierazitako egunean), eta bertan ikasleak azken notaren % 50 osatuko duten ariketak ebatziko ditu. Proba horrez gain, ikasleak ikasturtean zehar egindako lana ebaluatuko da, eta azken notaren % 50 izango da. Ikasleek egin beharreko lanak xehetasunez deskribatuko dira ikasleentzako gidan, eta banaka ebaluatuko diren praktika eta ariketak osatuko dute.



Irakasgai honetan, ariektak ebazteko eta erabakiak hartzeko zeharkako gaitasuna landuko da, arrazoitutako iritzietan, ikaskuntza autonomoan eta, azterketa eta sintesirako gaitasuna (denak ere lehengo mailan).



Gaitasun horiek garatzeko, ikasleentzako gidan xehetasunez deskribatuko diren zeregin praktikoak proposatuko dira.



Lehentasunezko ebaluazio-sistema jarraitua bada ere, ikasleek azken ebaluazio-sistemaren bidez ebaluatzeko eskubidea izango dute, etengabeko ebaluazio-sisteman parte hartu duten ala ez kontuan hartu gabe. Horretarako, ikasleek idatziz aurkeztu beharko diete irakasgaiaren ardura duten irakasleei ebaluazio jarraituari uko egiten diotela. Horretarako, 9 asteko epea izango dute, lauhilekoaren hasieratik hasita, ikastetxearen egutegi akademikoaren arabera.



Amaierako ebaluazio-sistema bat aukeratzen duten ikasleek azken proba bakar baten bidez egiaztatu ahal izango dute ikasgaiaren berezko ezagutzak eta gaitasunak lortu dituztela.

Ohiko deialdiari uko egiteko, nahikoa izango da azterketara ez aurkeztea.

UPV/EHUko e-gela plataforma informazio biltegi moduan erabiliko da, bertan irakasgaiaren jarraipena zein ebaluaketarako beharrezkoak diren materialak jasoko dira: programa, irakaskuntza gida, testak, proposatutako ariketak eta baliabide osagarriak.

Oinarrizko bibliografia

Herrero, A., 2020. Cálculo diferencial para economía y empresa. Ed. McGraw-Hill



Jarne, G., Pérez-Grasa, I., Miguilló, E. 2004. Matemáticas para la Economía. Álgebra Lineal y Cálculo Diferencial. Ed. McGraw-Hill



Miguilló, E., Pérez-Grasa, I., Jarne, G. 2004. Matemáticas para la Economía. Álgebra Lineal y Cálculo Diferencial. Libro de Ejercicios. Ed. McGraw-Hill.



Sydsaeter, K., Hammond, P., Carvajal, A. 2012. Matemáticas para el Análisis Económico. Ed. Pearson.

Gehiago sakontzeko bibliografia

Alegre, P., Badia, C., Rodón, C. Orti, F,J., Bonifacio, J., Sancho, T., Tarrio, J.A., Terceño, A. Ejercicios Resueltos de Matemáticas Empresariales (tomos 1 y 2). Editorial AC. Madrid 1993

Barbolla, R. Sanz, P. 1998. Álgebra Lineal y Teoría de Matrices. Editorial Prentice Hall.

Caballero, R.E., Calderón, S., Galache, T.P., González, A.C. Rey, M.L., Ruiz de la Rúa, F. 2006. Matemáticas aplicadas a la Economía y a la Empresa. 434 ejercicios resueltos y comentados. Editorial Pirámide. Madrid.

Chiang, A., Wainwrigth, K. 2006. Métodos fundamentales en economía matemática. Editorial McGraw-Hill.

Hoffman, L., Bradley, G. 2004. Cálculo aplicado para Administración, Economía y Ciencias Sociales. Editorial McGraw-Hill.

Stewart, J., 2006. Cálculo (conceptos y contextos). Editorial Thomson.

Valenciano, F., Aramendia, M., 1991. Temas de Matemáticas para Economistas. Servicio Editorial de la Universidad del País Vasco (UPV/EHU).