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Cuando, en la escuela primaria, me enseñaron que los lados menores de un triángulo rectángulo se llaman catetos, me pareció paradójico que, estudiándose en la geometría las más perfectas e ideales de las formas, se le cascase tan poco respetuoso nombre a los segmentos en cuestión. No obstante eso no me disuadió de estudiar la carrera de matemáticas, y ahora sé que la palabra en cuestión proviene del término griego kathetos, que quiere decir “que cae en perpendicular”.
Si observan el lado BA del triángulo del dibujo verán que la etimología de la palabra es de lo más acertada. En cambio, el lado CA parece ser más esquivo, pero todo vuelve a encajar si giran el cuello noventa grados y miran perpendicularmente a la pantalla (pero antes asegúrense de que no les está viendo nadie, en especial amigos y familiares).
Uno de los errores más frecuentes cometidos por los/as estudiantes es el de efectuar divisiones por cero. Cuando consideramos una estructura algebraica de cuerpo (como, por ejemplo, el de los números reales o el de los complejos), siempre está permitido hacer divisiones, ya que la divisibilidad está garantizada por el hecho de que en un cuerpo todo elemento no nulo es inversible; pero hay que hacer una matización: siempre que el divisor no sea nulo, se puede hacer la división, ya que, como dije, en un cuerpo todo elemento no nulo es inversible (lo cual quiere decir que existe un inverso de dicho elemento que multiplicado por él nos da como resultado uno. De esta forma, para dividir por un número, lo único que tenemos que hacer es multiplicar por su inverso). Así que, más precisamente, siempre que el divisor sea distinto de cero se puede hacer una división, o lo que es lo mismo, ¡¡¡NO SE PUEDE DIVIDIR POR CERO!!! (perdón por los gritos, pero este punto tiene que quedar muy claro) Veamos por qué es así: supongamos que, por ejemplo, 7 entre 0 fuera algún número x. Entonces, x multiplicado por cero sería 7, pero…¡cualquier número multiplicado por cero da como resultado cero!, así que la división de 7 por cero no está definida, y usando el mismo argumento, el cociente de cualquier número no nulo entre cero no está definido. ¿Y qué pasa si dividimos cero entre cero? Si queríamos taza, ahora tenemos taza y media. ¡Cualquier número es un buen candidato a cociente de cero entre cero! Por ejemplo, se puede decir que 0/0 es 3, ya que  , pero lo mismo podría decirse de cualquier número  , ya que  . Así que el concepto de cero entre cero no es tampoco demasiado interesante, y por eso se dice que cero entre cero es indeterminado (en realidad esto se dice con más propiedad en el contexto de los límites de sucesiones y de funciones, aunque en este caso la ambiguedad no es tal ya que el límite, cuando existe, es único y se calcula aplicando ciertas técnicas para eliminar la indeterminación o, en un examen, mirando con discrección cómo lo hace el de al lado).
Así que, en resumen, hacer una división por cero es incorrecto y motivo suficiente para llevarse uno en un examen. Además, dividir por cero puede llevar a conclusiones posteriores erróneas, como se muestra en el siguiente ejemplo. Tomemos dos números  y  que sean iguales, es decir, tales que  . Multiplicando en ambos miembros de la igualdad por obtenemos que  , y restando ahora  en ambos miembros se tiene  . En el lado izquierdo tenemos una diferencia de cuadrados, que podemos expresar como suma por diferencia, y en el lado derecho podemos sacar factor común a , con lo que tenemos  . Ahora podemos simplificar el factor  , con lo que nos queda  . Pero como y son iguales, esto es lo mismo que decir  y, finalmente, dividiendo en ambos miembros por obtenemos ¡¡¡¡¡¡2=1!!!!! Sí, ya sé que 2 no es igual a 1, como ya quedó claro en mi post sobre Bertrand Russell y el Papa, así que en algún sitio hemos cometido un error (esto es un ejemplo de un razonamiento en el que se ha introducido un error a propósito, que en filosofía se llama un sofisma y en política un discurso). El paso incorrecto está en la simplificación del factor ya que, como y son iguales, es cero y, como ya hemos dicho antes, no se puede (ni debe) dividir por cero.
A veces, una división por cero puede pasar inadvertida. Por ejemplo, si queremos resolver el sistema de dos ecuaciones  , estamos tentados de decir que sumando y restando ambas y dividiendo por dos en ambos miembros, la solución es  . Si los coeficientes de las ecuaciones se toman en el cuerpo de orden 2, este razonamiento sería incorrecto, ya que en este caso  y  es lo mismo, y las dos ecuaciones serían iguales. Pero entonces, ¿dónde está el error en nuestro “razonamiento” de que e  son cero?…¡pues en el paso de dividir por dos, ya que en el cuerpo de orden 2 se tiene que  ! (no, para conocimiento de los malpensados/as, la botella de Brandy la tengo impoluta y sin abrir en el armario. No quiero decir que el número entero dos y el número entero cero sean iguales, sino que, en el cuerpo con dos elementos, el dos y el cero son iguales. Es en este cuerpo con dos elementos en el que operan normalmente los ordenadores; si les digo que estoy hablando de la aritmética binaria seguramente les será algo más familiar y reconocible. Por cierto, el cuerpo de cardinal dos forma parte de una familia de cuerpos muy interesante, los llamados cuerpos finitos, de los que hablaré otro día si tengo cuerpo para ello).
En la lógica matemática hay un operador, el de implicación, cuya interpretación se desvía a veces de la lógica de andar por casa (o por la calle, o por donde ustedes prefieran). Para saber exactamente qué quiere decir  , donde  y  son dos proposiciones matemáticas hay que determinar su tabla de verdad, que es un recuadro con dos filas y columnas, en donde cada fila se corresponde con uno de los dos posibles valores lógicos, cierto o falso, para la proposición y cada columna se corresponde con uno de los posibles valores de la proposición . En cada casilla de la tabla aparece un valor lógico de verdadero o falso correspondiente a cada combinación de valores lógicos de y . La tabla de verdad para es la siguiente:
Esto quiere decir lo siguiente: Si y son ciertas, entonces es cierta, si es cierta y es falsa, entonces es falsa, si es falsa y es cierta, entonces es cierta y finalmente, si y son falsas, entonces es cierta. Las dos primeras afirmaciones, que determinan la veracidad de la implicación cuando es cierta, están de acuerdo con el uso cotidiano de la implicación, mientras que las dos últimas, aunque tienen un correcto y admisible uso matemático, no siempre coinciden con lo que el común de los mortales tiene en mente cuando usa las implicaciones en su vida ordinaria. El ejemplo más universalmente utilizado para ilustrar esta falta de concordancia en el uso de la implicación es el de la lluvia y el paraguas. Consideremos la frase “si llueve, saco el paraguas”, que además en Bilbao indica un comportamiento especialmente necesario y juicioso. A casi todo el mundo le hace rechinar los dientes la idea de un día soleado en el que alguien se pasee por la Gran Vía con un paraguas, salvo que se trate de una performance de algún grupo amateur de teatro, pero desde el punto de vista de la lógica formal matemática, ambas idean son perfectamente compatibles. La frase “si llueve, saco el paraguas” dice que siempre que llueve, saco el paraguas (al menos en un mundo matemático ideal en el que cada vez que llueve tengamos un paraguas a mano y no lo hayamos prestado, o no lo hallamos por cualquier otra circunstancia). Lo que ocurre cuando no llueve, a la lógica formal, y a los fabricantes de paraguas, le importa un pimiento, ya que la frase “si llueve, saco el paraguas” hace una afirmación relativa solamente a lo que ocurre en el caso de que llueva. En cambio, lo que le haría rechinar los dientes (si los tuviera) a la lógica matemática, es que llueva y no se saque el paraguas, ya que eso invalidaría la afirmación de que si llueve saco el paraguas. En todas las demás circunstancias, el valor lógico de la afirmación es verdadero. Por eso en la tabla de verdad anteriormente descrita en tres de las cuatro entradas aparece el valor lógico verdadero y tan sólo aparece el valor falso en aquella en la que es verdadero y falso.
Una de las consecuencias de lo anterior es que una afirmación falsa implica cualquier cosa, en el sentido siguiente: Si es una proposición falsa, entonces la implicación toma el valor verdadero (lo cual no hay que confundir con que la proposición implicada tome el valor verdadero, lo cual es falso y probablemente contribuya a que lo descrito al principio del párrafo nos suene un poco extraño o chocante). Esto es así porque en la ta segunda fila de la tabla de verdad de la implicación aparece  , lo cual quiere decir que, siempre que es verdadero, la implicación “ implica ” es verdadera.
Esta observación enlaza con el tema de este post “Bertrand Russell y el Papa”. El motivo de poner este título es doble: el principal es que si lo hubiera titulado “Valores semánticos y formales de la implicación en la lógica matemática”, no hubiera leído nadie el artículo (ahora ya es tarde, amigos míos). El segundo motivo es que se le atribuye a Bertrand Russell una anécdota en relación al hecho de que cualquier implicación en la que la premisa es falsa es cierta (la implicación en sí, no la proposición implicada). Se cuenta que un filósofo malintencionado le preguntó a Bertrand Russell: “¿Es cierto que si 1+1=3 entonces usted es el Papa?”, a lo que Bertrand russell contestó: “Supongamos que 1+1=3; entonces, restando 1 en ambos miembros, obtenemos 1=2. El Papa y yo somos dos, luego yo soy el Papa”. Lo que me deja bastante preocupado es que, aplicando el mismo razonamiento, yo soy Paquirrín. ¡Menos mal que 1+1 no es igual a 3!
En el aprendizaje del álgebra, y más en general de todas las matemáticas, es frecuente establecer “falsos homomorfismos”, es decir, regularidades incorrectas de ciertas funciones y operaciones. Se tiende a pensar, equivocadamente, que algunas “operaciones” conmutan con ciertas “funciones”, y que por consiguiente da lo mismo hacer primero la operación y aplicar la función al resultado que aplicar primero la función a cada uno de los operandos y después operar las cantidades resultantes. Un ejemplo de un error de este tipo en el que se cae muy frecuentemente, causa de innumerables suspensos, regañinas de padres y madres e interminables días de castigo estudiando en la habitación, es el del cuadrado de una suma. Casi todo el mundo sabe (y el avispado lector entre ellos, sin duda) que el cuadrado de una suma de dos elementos es el cuadrado del primero más el cuadrado del segundo más el doble del primero por el segundo. Esta identidad se encuadra dentro de las expresiones notables que se estudian en la escuela elemental, y han sido fijadas a lo largo del tiempo en el cerebro de generaciones de estudiantes a través de una mezcla equilibrada de la aplicación de elaboradas técnicas pedagógicas y certeros reglazos en las puntas de los dedos (esta última técnica se encuentra ya en desuso). La forma algebraica de la mencionada identidad es  . Algunas personas, no obstante, encuentran más natural (sobre todo si no estuvieron en clase el día que se dio la identidad) algo así como “el cuadrado de una suma es la suma de los cuadrados”, que se podría traducir algebraicamente como  . Esto hace a la recién inventada identidad más simétrica pero desafortunadamente no más cierta, como se puede ver fácilmente sustituyendo, por ejemplo, y por 1. De esta forma,  pasa a ser 4, mientras que  es 2, y por lo tanto no da el mismo resultado. Así, vemos que lo que se puede pensar a simple vista que es lo más sencillo, no siempre es lo correcto, y que, al menos en matemáticas, el principio de la navaja de occam mal empleado puede hacer a veces verdaderos estropicios. El mismo error se suele cometer al elevar una suma de dos elementos a una potencia con exponente mayor que dos. Así, muchas veces se pone  . Esto, por supuesto, es falso de nuevo. Si, por ejemplo, tomamos  (es decir, elevamos al cubo), y  , entonces  toma el valor 8, mientras que  toma el valor 2, y así se ve que la expresión anterior es incorrecta y nuestra candidata a “identidad notable” es notablemente mala. A grandes males, grandes remedios: el desarrollo correcto de una potencia de  viene dado por el llamado “binomio de Newton”, que dice que  , donde  es el número combinatorio que nos da el número de combinaciones de  elementos tomados de  en . Otro error habitual del tipo “falso homomorfismo”, es creer que el seno de una suma es la suma de los senos, es decir, que  . Esto se puede refutar observando que, tomando, por ejemplo, , se tiene  (esto no es tampoco del todo cierto, ya que tiene infinitos decimales, pero no pertenece al error del “falso homomorfismo” sino al error del tipo “¡Oh, cielos, no tengo infinito espacio para representar todos los decimales!”) mientras que  es aproximadamente 1.682. Entonces, ¿cual es la forma correcta de proceder? Bien, hay una conocida identidad trigonométrica que nos viene como anillo al dedo, que es la siguiente:  . No es tan “bonita” como nuestra candidata anterior pero a cambio es cierta (que no es poco). Otros errores similares al que acabamos de mostrar son, utilizar otras funciones:  , etc., o bien utilizar el producto, en lugar de la suma:  , etc. Un caso extremo de este tipo de errores, que se suele mencionar como ejemplo jocoso y que probablemente sea una leyenda urbana matemática, es el del alumno que en un examen hizo la siguiente simplificación:  . Como he dicho antes, quizás sea una anécdota falsa, pero ciertamente “si no e vero e ben trovato”.
La otra cara de la moneda de todo esto son los homomorfismos verdaderos. Por ejemplo, el tomar logaritmos es un homomorfismo de los números reales positivos con el producto en los números reales con la suma, es decir, se cumple que  . Este hecho notable sirvió durante mucho tiempo para hacer multiplicaciones y divisiones de forma sencilla reduciéndolas a sumas y restas, y es el fundamento del funcionamiento de la regla de cálculo (ahora, por supuesto, con el auge de las calculadoras y los ordenadores, este método ha caído en desuso, junto con, desafortunadamente, cualquier otro tipo de cálculo hecho con lápiz y papel). Otro ejemplo de homomorfismo (¡verdadero!) aditivo viene dado por la derivación e integración: la derivada de una suma es la suma de las derivadas y la integral de una suma es la suma de las integrales. Pero no nos emocionemos y cojamos carrerilla, que con el producto no pasa lo mismo y si lo creyéramos caeríamos de nuevo en el error del falso homomorfismo (¡vade retro!): la derivada de un producto no es el producto de las derivadas, sino que es la derivada del primero por el segundo sin derivar más el primero sin derivar por la derivada del segundo. Respecto a la integral del producto la situación es todavía peor, ya que no hay una fórmula cerrada sencilla que nos dé la integral de un producto. Lo más parecido es la fórmula de la integración por partes, que muchas veces es útil para calcular integrales de productos pero no es realmente una fórmula en la que aparezcan únicamente los factores y las integrales de cada uno de los factores. Se podría alargar más este artículo con muchísimos más ejemplos de falsos homomorfismos, pero supongo que el lector ya ha comprendido la idea y él o ella mismo conocerá algunos ejemplos (esperemos que por experiencia ajena) que podría aportar. Yo, por mi parte, termino poniendo estos dos ejemplos gráficos que son ya clásicos en internet:
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¿Y por qué no? En contra de lo que se podría creer a primera vista, las matemáticas no están reñidas con el sentido del humor, como tampoco lo está la física, la química (¡felicidades en su año!) ni las otras ciencias. Como muestra de ello, anualmente se celebran los ig-nobel, que son una especie de premios anti-nobel a los “descubrimientos” cientificos más dudosos, cuestionables, o simplemente estrambóticos. El susodicho galardón es entregado por auténticos premios nobel, y hasta alguna que otra vez lo reciben, como en el caso de Andréy Gueim, ig-nobel y nobel en los años 2000 y 2010, respectivamente (la parte positiva es que no fue en orden inverso). La ciencia en general tiene que ejercer una crítica constante a todo lo establecido, y esto lleva directamente a tener una disposición de ánimo a reírse de uno mismo (y de el de al lado si nos debe dinero). No es infrecuente tampoco que científicos famosos hayan destacado por su sentido del humor. Es el caso, por ejemplo, del premio nobel de física Richard Feynman, quien escribió un libro muy divertido titulado “¿Está usted de broma, señor Feynman?” y publicado en castellano por alianza editorial. También pueden disfrutar el libro de Física en tres volúmenes del mismo autor. Es el único texto de física que he leído que, además de ser riguroso, claro y comprensible, intercala de vez en cuando chistes en el texto (a decir verdad tampoco he leído muchos, por lo que tampoco es nada extraordinario). Tampoco los matemáticos y matemáticas han andado cortos de buen humor, como se puede ver reflejado en el libro “Los matemáticos no son gente seria”, de Claudi Alsina y Miguel de Guzmán”, en donde se cuentan anécdotas muy divertidas de grandes personajes de las matemáticas. Yo mismo llegaría a ser un premio nobel con un gran sentido del humor si no fuera por dos razones: que no hay nobel de matemáticas y que con toda seguridad se iba a cruzar antes en mi carrera el ig-nobel, y algo me dice que no sería tan afortunado como Andréy Gueim.
Espero haberles convencido de que las matemáticas y el humor no están tan alejados y que sigan leyendo este blog.
Hasta el próximo posteo.
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