TRANSFORMADA DE FOURIER DE TIEMPO DISCRETO (TFTD)

Definición y propiedades.

    En la práctica, determinar la salida y separar la parte de estado estable de la respuesta de un sistema puede ser un proceso largo y difícil. Sin embargo, si sólo se requiere la parte de estado estable, suele ser más fácil y directo hacer un análisis senoidal de estado estable en el que la entrada se modela como una superposición de componentes senoidales y cosenoidales estables de diferentes frecuencias.

    Recuérdese que este procedimiento se basa en el hecho de que la respuesta de estado estable de un sistema lineal invariante con el tiempo (L.T.I) a una entrada senoidal o cosenoidal es una senoide de la misma frecuencia, pero que difiere en amplitud y fase. Cuando una suma lineal de componentes senoidales y cosenoidales se aplica a un sistema lineal estable, el sistema responde modificando la amplitud y produciendo un desfase de cada componente de entrada de una magnitud que depende de su frecuencia. La superposición lineal de todas las componentes modificadas constituye la salida de estado estable del sistema.

    Cuando se trabaja con señales y sistemas de tiempo continuo, la señal de entrada x(t) se representa por su Transformada de Fourier X(jw) y el sistema por su función de respuesta en frecuencia de estado estable H(jw). El producto de X(jw) y H(jw) determinan el espectro de salida :

Y(jw)=H(jw) X(jw)

el cual al ser invertido, proporciona la forma de onda de la señal de salida de estado estable y(t).

     Ahora bien, se sabe que la función de respuesta en frecuencia de un sistema de tiempo continuo puede encontrarse directamente aplicando la transforma de Fourier a la respuesta al impulso unitario, h(t)

T F
<---------->

    La función de respuesta en frecuencia de un sistema digital está relacionada de manera similar a su respuesta a la muestra o impulso unitario h[n] por una transformación formal . Es decir,

T F T D
<----------> 
o bien T F T D
<----------> ; W = w T

donde TFTD es la Trasformada de Fourier de tiempo discreto. Más adelante veremos que ambas definiciones son equivalentes, donde T es el periodo de muestreo fs = 1/T.
       Puesto que la fase W es igual a Tw (W = w T), a un valor de la fase comprendido entre 0 y p),  donde  le corresponde una frecuencia f deducida por:

teniendo en cuenta que:

de donde se obtiene que:

    Expresión que la relaciona la frecuencia en cuestión con el periodo o la frecuencia de muestreo y la fase correspondiente.

     Respecto de la convergencia de la TFTD debemos hacer las siguientes consideraciones. La integral de Fourier de tiempo continuo siempre converge hacia una función bien definida de la frecuencia cuando se aplica a señales de energía finita.

    De manera similar, se puede garantizar que la suma de los términos exponenciales que define al la TFTD de una secuencia será finita para todas la frecuencias restringiendo su aplicación a secuencias aperiódicas que se reducen a cero para valores crecientes de n. Es condición necesaria y suficiente que se verifique la condición

    Se dice que una secuencia con esta propiedad es absolutamente sumable. Puede demostrarse además que una secuencia absolutamente sumable es por fuerza aperiódica y que posee energía finita, es decir,

    La función de respuesta en frecuencia definida como  o bien  caracteriza la respuesta de estado estable de un sistema de tiempo discreto a una componente de entrada exponencial compleja  o bien . En general las funciones  son complejas que se expresan en forma polar como:

    En esta sección desarrollaremos la TFTD según la definición:

     Desde un punto de vista práctico la mayoría de las señales digitales no son periódicas. Hay varias formas de enfocar el desarrollo de la Transforma de Fourier de una secuencia digital. Un procedimiento es vía la Transformada de Fourier aplicada a una señal analógica.

     Sin embargo puesto que nuestro estudio está relacionado con los sistemas digitales es preferible efectuar el análisis a partir de aproximaciones en el entorno digital.

    Este análisis aplicado a una secuencia periódica se modela como:

    Aunque la ecuación especifica el periodo entre n=0 y N-1, cualquier otro periodo completo es así mismo válido.

    Consideremos una señal periódica arbitraria tal y como la representada en la figura 3.5. (a) donde N = 5. 

 

    En la Figura 3.5. (b) se ha representado una señal periódica N = 12 mediante la adición de siete ceros respecto de la señal original. Mediante este proceso repetitivo podríamos hacer que . La señal x[n] seguiría teniendo cinco valores finitos.

 

Fig. 3.5

    ¿Qué pasa con los coeficientes ak cuando es extiende x [n] de esta forma? En primer lugar su amplitud disminuye al estar afectados por el término 1/N, en segundo lugar se aproximan cada vez más a medida que N aumenta porque N aparece en el denominador del término exponencial .

    Pensando en términos de energía aún cuando |ak| ----> 0 cuando , el producto N ak permanece finito.
     Empleando la notación    y ,  la ecuación

se reescribe como:

donde extendiendo los límites tenemos:

    Esta importante relación se conoce como la T.F.T.D de la señal digital no periódica x[n] y donde X(W) proporciona el espectro en frecuencia de x[n] .

     Lo mismo que en el caso anterior conociendo el espectro X(W) de una señal es posible reconstruir ésta mediante la expresión matemática:

conocida como la Transformada inversa de Fourier.

    En la siguiente página se realiza una deducción a partir de la expresión correspondiente a una serie periódica.
    La ecuación representa en qué medida puede expresarse una señal no periódica como suma de señales periódicas senoidales y/o cosenoidales. Es una ecuación de análisis.

     La ecuación muestra la forma de sintetizar una señal x[n] a partir de su espectro X(W). Podemos observar grandes similitudes entre estas expresiones y las correspondientes a señales analógicas.

     Una diferencia fundamental entre el análisis de Fourier aplicado a señales analógicas y digitales es que el espectro de una señal digital es siempre repetitivo a diferencia del correspondiente a una señal analógica. Esto es una consecuencia inevitable del teorema del muestreo y refleja el hecho de la posible ambigüedad en las señales digitales.

     Cuando se hace una gráfica que muestre el módulo y la fase o argumento de X(W), como la de la Figura 3.6  los valores del eje horizontal se dan con respecto a la fase W = w T, y debido a que el espectro es repetitivo, la fase siempre se expresa en términos de su valor principal en el intervalo [-p, p] , además teniendo en cuenta su simetría respecto al eje vertical normalmente la representación se hace en el intervalo  [ 0 ,p] .

Fig. 3.6

Desarrollar X(W)

     Se ha desarrollado un programa iterativo para calcular la parte real, imaginaria, módulo y argumento de la TFTD de una señal x[n] . El programa admite como datos de entrada el número de términos (n_T) de la secuencia x[n] y los valores de x[n] .

     Se proponen los siguientes ejemplos:

n_T=16; x[ 0] =0; x[ 1] =0; x[ 2] =1; x[ 3] =1; x [ 4] =2; x[ 5] =2; x[ 6] =3; x[ 7] =3;

x[ 8] =4; x[ 9] =4; x[ 10] =3; x[ 11] =3; x[ 12] =2; x[ 13] =2; x[ 14] =1; x[ 15] =1;

n_T=8 ; x[ 0] =0; x[ 1] =1; x[ 2] =2; x[ 3] =3; x[ 4] =4; x[ 5] =5; x[ 6] =6; x[ 7] =7;

n_T=15; x[ 0] =0; x[ 1] =1; x[ 2] =2; x[ 3] =3; x[ 4] =4; x[ 5] =5; x[ 6] =6; x[ 7] =7;

x[ 8] =-7; x[ 9] =-6; x[ 10] =-5; x[ 11] =-4; x[ 12] =-3; x[ 13] =-2; x[ 14] =-1;

Activar programa

    Desde un punto de vista operativo las propiedades más importantes son:

    linealidad, desplazamiento en el tiempo, convolución y simetría:

    I) Linealidad

    Si x1[n] <----->X1(W) y x2[n] <---->X2(W)
    entonces a x1[n] + b x2[n] <-------> a X1(W) + b X2(W)

     II) Desplazamiento en el tiempo

    Si entonces 

    III) Convolución

    Si x1[n] <---> X1(W) y x2[n] <---->X2(W) entonces x1[n]b x2[n] <--------> X1(W) X2(W)

    Esta expresión indica que la convolucíón en el dominio temporal es equivalente al producto en el dominio de la
    frecuencia.

    IV) Simetría

    La magnitud espectral |X(W)| es una función par de W :

|X(W)| = |X(-W)|

y que la fase es una función impar de W:

f(W) = -f(-W)

    También tiene la propiedad de simetría de conjugados, es decir:

X(-W) = X*(W)

donde * denota el complejo conjugado.

    Generalmente se aprovechan estas propiedades cuando se calculan espectros y se hacen gráficas, ya que si se conocen |X(W)| y f(W) para , estas funciones también se conocen para .

    Debido a la importancia de la señal d[n] en el tratamiento de DSPs veamos su análisis espectral:

      De esta forma d[n] es una señal en la cual están contenidas todas las frecuencias. Por lo tanto podría ser sintetizada por una suma de infinitas señales cosenoidales de igual amplitud tendiendo a cero. Este espectro se dice que es blanco.

    El impulso unitario retrasado un intervalo de muestreo d[n-1] tiene el espectro:

de módulo |X(W)| = 1 y fase f = - W. En la Figura 3.10 se representan el módulo y argumento.

Fig. 3.10

    Es interesante comparar estas gráficas con las correspondientes al caso de señales periódicas. Figura 3.11.

Fig. 3.11

    Veamos dos sencillos ejemplos. Calcular la Transformada de Fourier de las señales representadas en la Figura 3.12 en el rango - p < W<p.

Fig. 3.12

 

Solución Ejemplo 1. 
Solución Ejemplo 2.

    Como aspectos adicionales y complementarios a este importante tema, en las siguientes páginas estudiarán los siguientes aspectos:

  1.- Un análisis de la TFTD según la definición:
 

T F T D
<---------> 

en la cual se tiene en cuenta de una forma explícita el periodo de muestreo T.
    También se verá el cambio de escala de frecuencia y normalización donde se compatibilizan las dos definiciones. Estudiar 

2.- Muestreo de señales y seudocomponentes. Estudiar

3.- Resolución de frecuencias, donde se plantea el problema del truncamiento al utilizar una secuencia finita x[n] y la necesidad de utilizar ventanas
     y el muestreo espectral. Estudiar 

4.- La Transformada de Fourier Discreta DFT directa e inversa, donde se considera una secuencia finita de muestras x[n] . En este apartado se
      llegan a conclusiones similares a las tratadas al estudiar la Transformada de Fourier de una muestra de señales x[n] periódica. Estudiar.